Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas, de tres funciones cuadráticas muy sencillas:
a) f(x)= - x2 - 5x + 4 b) f(x)= - x2 - 5x + 4 c)f(x)= - 2x2 - 5x + 4
Para determinar el valor de las soluciones X1 y X2 respectivamente es necesario utilizar la siguiente formula:
Los valores correspondientes a , a, b y c, los desprendemos de la ecuación general de la forma: ax2 + bx + c = 0
Intersección de la parábola con los ejes.
a)-.Intersección con el eje Y: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa (eje x) x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje Y tendrá de coordenadas (0,y).
b)-.Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X tienen la ordenada (eje y) y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:
a-.Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales sean X1 y X2 y estas sean distintas y la parábola cortará al eje X en dos puntos.
b-.Si D = 0, la ecuación tiene una solución real es decir X1 = X2 y, por tanto, la parábola cortará al eje X en un punto (que será el vértice).
C-.Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje X.
Vértice (V) de la parábola.
Corresponde al punto mínimo, cuando la curva es hacia abajo es decir a<0 y al punto máximo, cuando la curva es hacia arriba es decir a>0, en donde h será el punto del vértice en las abscisas (eje x) y k será el punto del vértice en la ordenada (eje y).
Entonces: V (h, k)
h=-b/2a k=ah²+bh+c =( b²-2b²+4a)/4ª
Ejemplo:
1-.Dadas las parábolas 
a)-.Hallar el área encerrada por ambas.
b)-.La distancia entre sus vértices.
Calculemos las coordenadas de los vértices:
Determinemos los puntos de corte de ambas curvas resolviendo el sistema:
Se cortan pues en los puntos P (0,2) y Q (1,5/2)
La gráfica sería:
4. Tangentes a la parábola y otra construcción posible
Podemos hacer una construcción un tanto distinta: si P es un punto sobre la parábola (F; d) y P0 es su proyección perpendicular sobre d, entonces la mediatriz del segmento FP' pasa por P, pues la mediatriz es el conjunto de puntos que
están a igual distancia de F y de P'. Pensándolo al revés, podemos asignar a cada punto P' sobre d un punto P sobre la parábola tomando la intersección de la perpendicular a d por P' y la mediatriz m del segmento FP' como se indica en la
Figura.
A partir de este gráfico parece que la mediatriz m es tangente a la parábola por P. Claro que para ver esto formalmente deberíamos tener una definición de tangente a una curva.
5.
6. 
7. Tangente de una paralela a una recta dada
8. El triangulo de Arquímedes
9. Construcción de una parábola a partir de otros elementos
